Асанбаев начал выступать в ДДТ с первого дня появления коллектива в 1979 году в Уфе. Тогда в команду входили вокалист Юрий Шевчук, басист Геннадий Родин, клавишник Владимир Сигачев и барабанщик Ринат Шамсутдинов, а называлась она «ансамбль под управлением Геннадия Родина». Гитарист покинул ДДТ через четыре года, но продолжил исполнять рок и блюз. Позже Асанбаев несколько раз присоединялся к группе на концертах.
В 1997 году музыкант записал сольный блюзовый альбом «Пассажир». Несколько лет он возглавлял уфимскую группу Boogie Band, а также работал арт-директором коллектива JiMi Bluescafe.
Рустэм Асанбаев — сын башкирского драматурга Нажиба Асанбаева.